При разработке и усовершенствовании электротехнических изделий огромное значение приобретают начальные исследования поставленной задачи. Сюда входит обзор изобретений и литературы, анализ математических моделей электротехнических изделий, нахождение оптимальных методик решения рассматриваемой задачи, на основании сравнения, и выбор окончательного варианта.

Наиболее важным этапом начального исследования является математическое моделирование рассматриваемого электротехнического изделия.

В современном промышленном производстве остро стоит проблема экономии материальных ресурсов, таких как материалы, энергия, трудозатраты и так далее. В электротехнике решение этой проблемы возможно лишь при использовании оптимальных по соответствующим критериям электротехнических устройств. К таким устройствам можно отнести электродвигатели, трансформаторы, всевозможные электромеханические преобразователи, электрические аппараты, электромагниты и т.д.

Любые электромеханические преобразователи (такие как электрические машины, трансформаторы, электромагниты, всевозможные приборы и т.д.) содержат в составе своей конструкции две составляющие: электрическую катушку с протекающим по ней током и магнитную систему, направляющую магнитный поток в нужное нам место. Далее, в результате взаимодействия электрической и магнитной составляющей конструкции происходит нужное нам преобразование энергии. В трансформаторе – это преобразование электрических параметров, таких как ток и напряжение. А в электрических машинах и электромагнитах происходит электромеханическое преобразование. Здесь мы получаем либо механический момент, позволяющий вращать рабочий орган всевозможных механизмов, либо получать необходимое усилие.

Естественно, для разработки подобных устройств в инженерной практике требуется иметь соответствующие методы проектирования. Для общеизвестных и распространённых конструкций такие методы существуют. Это вызвано тем, что имеется огромный опыт создания этих конструкций, многочисленные экспериментальные данные и отработанные на этом многочисленные практические методы расчёта.

Совсем другая ситуация возникает при разработке нестандартных устройств. Здесь приходится уповать на инженерную интуицию, опыт практической деятельности создателя этих конструкций. Однако, в современных условиях технического прогресса, когда техника создаётся под конкретные условия применения, возникают определённые трудности у разработчика. У него нет достаточного опыта, да и интуиция есть не у каждого, так как она – продукт накопленного опыта. Отсутствие наработанных методов проектирования можно скомпенсировать экспериментами. Но в наше время эксперименты – дело очень затратное. Поэтому приобретает большое значение математическое моделирование, которое, на основании фундаментальных законов, позволяет математически описать работу проектируемого устройства и обойтись без натурных экспериментов.

Математическое моделирование стало широко применяться с развитием вычислительной техники. Современная вычислительная техника обладают большой памятью, достаточным быстродействием и развитой периферией. Это всё позволило создавать системы автоматизированного проектирования (САПР) различных технических устройств. Создание САПР потребовало разработку всевозможных аналитических и численных методов расчета электромагнитных и тепловых полей.

В настоящее время появилось достаточно публикаций, посвящённых расчету электромагнитных полей электротехнических устройств. Среди этих книг и статей можно выделить, на наш взгляд, несколько основных направлений. Сюда относятся: аналитические методы для частных случаев, метод конформных преобразований, метод сеток, вариационные методы, метод конечных элементов, метод вторичных источников поля, метод приведения поля к сложной магнитной цепи, а также целый ряд методов, представляющих модификацию или комбинацию вышеизложенных методов. Эти методы подробно изложены в аналитическом обзоре в монографии одного из авторов статьи Б.К. Попова [1].

Одними из первых аналитических методов являются методы Роговского и Рота. Здесь решение получается в виде одинарных или двойных рядов Фурье. Метод применим для прямоугольных границ и для магнитной системы с µ=const.

Метод конформных преобразований является более действенным аналитическим методом, чем методы Роговского и Рота, так как позволяет учесть влияние границ более сложной формы, чем прямоугольник, но он применим только для двухмерных полей и магнитных систем с µ=0.

Метод сеток или метод конечных разностей позволяет получить численное решение задачи с любыми границами и любой конечной магнитной проницаемостью. Здесь для решения больших систем линейных алгебраических уравнений применяются релаксационный, сверх релаксационный и итерационный методы.

Вариационные методы, такие как метод Ритца, метод Галеркина, метод Канторовича, сводят задачу решения уравнения Лапласа или Пуассона с любыми граничными условиями к минимизации соответствующего функционала. Метод достаточно общий, но требует больших затрат машинного времени и хорошей математической подготовки для проектировщика.

Метод конечных элементов является развитием вариационных методов. Достоинство его заключается в том, что в отличие от вариационных методов приходится обращать не полную матрицу, а ленточную, что значительно упрощает расчеты.

Следует также отметить метод вторичных источников поля, являющийся развитием членом-корреспондентом Гринбергом Г. А. метода, предложенного ещё Максвеллом. Метод позволяет решать практически любые задачи технической электродинамики, но требует большого объема оперативной памяти машины и большого быстродействия, а также глубоких математических знаний.

Значительное распространение получил метод сведения поля к разветвленной магнитной цепи, описываемой схемой замещения, но этот метод требует тщательного построения картин магнитного поля в воздушных зазорах.

На наш взгляд наиболее интересен метод, объединяющий аналитические и численные методы. Ранее применялся метод вторичных источников поля с использованием рядов Фурье и метода Фурье для решения задач в двухмерных полях [2 ‒ 14]. Как показала практика расчётов при числе членов ряда около 100 явление Гиббса не наблюдалось и результаты расчётов были близки к точным результатам. Это показало сравнение результатов расчёта по предлагаемой методике с результатами расчёта контрольных примеров.

Поэтому появилось мнение, что возможно применение разработанного для двухмерного случая методики к трёхмерному случаю.

Начнём с того, что источником поля в электротехнических устройствах на сегодняшний день, являются катушки с током. Следовательно, если за приемлемое время можно рассчитать с помощью нашей методики электромагнитное поле в любой точке пространства, то данная методика и для неоднородной задачи может быть применена. Поэтому начнём расчёт электромагнитного поля с помощью нашей методики для цилиндрической катушки.

Решение, как и для двухмерного случая будем искать для следующей конструкции. В сплошной среде с µ=const образуем полость, заполненную воздухом, в виде параллелепипеда. В середину этого параллелепипеда поместим цилиндрическую катушку. Наша задача будет заключаться в том, что надо будет рассчитать электромагнитное поле в любой точке пространства.

Как показали наши исследования, формула для определения магнитной индукции, выраженная через векторный магнитный потенциал  будет иметь вид

Как видно из выражения (1) составляющей по оси y вектора магнитного потенциала  не будет, так как нет такой составляющей тока в катушке, вектор тока и вектор магнитного потенциала параллельны.

Векторный магнитный потенциал  будем описывать в виде тройного ряда Фурье

В результате проведённых исследований нами была выведена формула для определения

где  − плотность тока в катушке;

       l,d − размеры полости;

       m_h, n_k, u_t‒ номера гармоник.

Формула (4) может служить для расчёта поля в диаметральной плоскости, параллельной оси x. Мы ограничились определением Gx_h,k,t, так как была поставлена задача расчёта векторного магнитного потенциала первой части электромагнитной катушки.

Из формулы (4) видно, что интеграл от z не имеет аналитического решения. Поэтому для определения данного интеграла применим формулу Симпсона. Как показала вычислительная практика, этот подход оправдал наши надежды. Решение оказалось в пределах допустимой точности.

С использованием приведённых формул и описанного выше подхода были составлены алгоритмы, а по ним программы вычисления Gx_h,k,t  [15, 16]. В результате проведённых вычислений было выявлено, что работа программы занимает незначительное время, не превышающее пары минут. Картина поля, построенная по результатам вычислений, полностью соответствует физическим представлениям, описанным в литературе. Отсюда вывод, что данная методика подходит для решения трёхмерных задач в неоднородных средах и для любых видов катушек.

1. Попов Б.К. Математическое моделирование магнитных систем грузозахватных устройств на постоянных магнитах: монография/ Б.К. Попов, О.Б. Попова, А.И. Попов; ФГБОУ ВО «КубГТУ», Краснодар, 2017, 100 с.
2. Попов Б.К. Исследование применимости метода вторичных источников при решении краевых задач электромагнитного поля/ Кубан. гос. технол. ун-т. – Краснодар, 2003. – 15 с. – Деп. в ВИНИТИ 11.04.03, № 698 – В2003.
3. Попов Б.К. Исследование влияния размеров неоднородности среды на величину вторичных источников при решении краевых задач электромагнитного поля/ Кубан. гос. технол. ун-т. – Краснодар, 2003. – 9 с. – Деп. в ВИНИТИ 06.06.03, № 1103 – В2003.
4. Попов Б.К. Определение зависимости вторичных источников поля от среднего значения напряжённости поля на границе раздела сред / Кубан. гос. технол. ун-т. – Краснодар, 2004. – 4 с., Деп. в ВИНИТИ 08.06.2004, № 970 – В2004.
5. Попов Б.К. Исследование применимости рядов Фурье в методе вторичных источников поля для решения плоскопараллельной неоднородной полевой задачи/ Кубан. гос. технол. ун-т. – Краснодар, 2004. – 6 с., Деп. в ВИНИТИ 12.10.04, № 1592 – В2004.
6. Попов Б.К. Вывод формулы для определения величины и знака вторичных источников поля/ Кубан. гос. технол. ун-т. – Краснодар, 2004. – 4 с., – Деп. в ВИНИТИ 08.12.04, № 1962 – В 2004.
7. Попов Б.К. Исследование применимости интеграла Фурье в методе вторичных источников поля для решения неоднородной плоскопараллельной полевой задачи/ Кубан. гос. технол. ун-т. – Краснодар, 2004. – 5 с., – Деп. в ВИНИТИ 15.12.04, № 2001 – В2004.
8. Попов Б.К. Приведение бесконечного числа последовательных приближений к конечному аналитическому выражению при решении полевой задачи с помощью интеграла Фурье/ Кубан. гос. технол. ун-т. – Краснодар, 2005. – 7 с., – Деп. в ВИНИТИ 10.10.05, № 1290 – В2005.
9. Попов Б.К. Расчёт методом Роговского магнитного поля двух шин прямо-угольного сечения со встречно направленными токами в прямоугольной области, окружённой ферромагнетиком с бесконечной магнитной проницаемостью/ Кубан. гос. технол. ун-т. – Краснодар, 2007. – 11 с.: ил., Деп. в ВИНИТИ 23.03.07, № 285 – В2007.
10. Попов Б.К. Расчёт методом Рота магнитного поля двух шин прямоугольного сечения со встречно направленными токами в прямоугольной области, окружённой ферромагнетиком с бесконечной магнитной проницаемостью/ Кубан. гос. технол. ун-т. – Краснодар, 2007. – 7 с.: ил., Деп. в ВИНИТИ 23.03.07, № 287 – В2007.
11. Попов Б.К. Вывод формулы для определения величины и знака вторичных источников поля в виде поверхностных токов/ Кубан. гос. технол. ун-т. – Краснодар, 2007. – 7 с., Деп. в ВИНИТИ 23.03.07, № 286 – В2007.
12. Попов Б.К. Расчёт магнитного поля двух шин прямоугольного сечения со встречно направленными токами в кусочно-неоднородной прямоугольной области, окружённой ферромагнетиком с бесконечной магнитной проницаемостью/ Кубан. гос. технол. ун-т. – Краснодар, 2007. – 9 с., Деп. в ВИНИТИ 02.05.07, № 485 – В2007
13. Попов Б.К. Решение полевых задач электротехники с помощью вторичных источников поля и рядов Фурье/ Б.К. Попов, О.Б. Попо-ва;Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. – Краснодар: КубГАУ, 2013. – №09(093). – IDA [article ID]: 0931309040. – Режим доступа: http: //ej.kubagro.ru/2013/09/pdf/40.pdf.
14 Попов Б.К.Учёт неоднородности среды при расчёте магнитного поля/ Б.К. Попов, О.Б. Попова;Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. – Краснодар: КубГАУ, 2014. – №01(095). – IDA [article ID]: 0951401052. – Режим доступа: http: //ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/52.pdf.
15. Попов Б.К.Вычисление члена ряда Фурье для векторного магнитного по-тенциала катушки по оси X / Б.К. Попов, О.Б. Попова;СВИДЕТЕЛЬСТВО о государственной регистрации программы для ЭВМ 2014618898, зарегистрировано 01.09.14.
16. Попов Б.К.Модифицированное вычисление члена ряда Фурье для векторного магнитного потенциала катушки по оси X/ Б.К. Попов, О.Б. Попова;СВИДЕТЕЛЬСТВО о государственной регистрации программы для ЭВМ 2014619552, зарегистрировано 18.09.14.

Попов Борис Клавдиевич, Попова Ольга Борисовна, Бочкарёва Анна Юрьевна РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЁТА ВЕКТОРНОГО МАГНИТНОГО ПОТЕНЦИАЛА ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ КАТУШКИ // Вестник студенческой науки кафедры информационных систем и программирования. – 2017. – № 03;
URL: vsn.esrae.ru/ru/3-12 (дата обращения: 29.06.2025).

Сегодня: 2014 | За неделю: 2014 | Всего: 2948

Комментарии (0)