При разработке и усовершенствовании электротехнических изделий огромное значение приобретают начальные исследования поставленной задачи. Сюда входит обзор изобретений и литературы, анализ математических моделей электротехнических изделий, нахождение оптимальных методик решения рассматриваемой задачи, на основании сравнения, и выбор окончательного варианта.

Наиболее важным этапом начального исследования является математическое моделирование рассматриваемого электротехнического изделия.

В современном промышленном производстве остро стоит проблема экономии материальных ресурсов, таких как материалы, энергия, трудозатраты и так далее. В электротехнике решение этой проблемы возможно лишь при использовании оптимальных по соответствующим критериям электротехнических устройств. К таким устройствам можно отнести электродвигатели, трансформаторы, всевозможные электромеханические преобразователи, электрические аппараты, электромагниты и т.д.

Любые электромеханические преобразователи (такие как электрические машины, трансформаторы, электромагниты, всевозможные приборы и т.д.) содержат в составе своей конструкции две составляющие: электрическую катушку с протекающим по ней током и магнитную систему, направляющую магнитный поток в нужное нам место. Далее, в результате взаимодействия электрической и магнитной составляющей конструкции происходит нужное нам преобразование энергии. В трансформаторе – это преобразование электрических параметров, таких как ток и напряжение. А в электрических машинах и электромагнитах происходит электромеханическое преобразование. Здесь мы получаем либо механический момент, позволяющий вращать рабочий орган всевозможных механизмов, либо получать необходимое усилие.

Естественно, для разработки подобных устройств в инженерной практике требуется иметь соответствующие методы проектирования. Для общеизвестных и распространённых конструкций такие методы существуют. Это вызвано тем, что имеется огромный опыт создания этих конструкций, многочисленные экспериментальные данные и отработанные на этом многочисленные практические методы расчёта.

Совсем другая ситуация возникает при разработке нестандартных устройств. Здесь приходится уповать на инженерную интуицию, опыт практической деятельности создателя этих конструкций. Однако, в современных условиях технического прогресса, когда техника создаётся под конкретные условия применения, возникают определённые трудности у разработчика. У него нет достаточного опыта, да и интуиция есть не у каждого, так как она – продукт накопленного опыта. Отсутствие наработанных методов проектирования можно скомпенсировать экспериментами. Но в наше время эксперименты – дело очень затратное. Поэтому приобретает большое значение математическое моделирование, которое, на основании фундаментальных законов, позволяет математически описать работу проектируемого устройства и обойтись без натурных экспериментов.

Математическое моделирование стало широко применяться с развитием вычислительной техники. Современная вычислительная техника обладают большой памятью, достаточным быстродействием и развитой периферией. Это всё позволило создавать системы автоматизированного проектирования (САПР) различных технических устройств. Создание САПР потребовало разработку всевозможных аналитических и численных методов расчета электромагнитных и тепловых полей.

В настоящее время появилось достаточно публикаций, посвящённых расчету электромагнитных полей электротехнических устройств. Среди этих книг и статей можно выделить, на наш взгляд, несколько основных направлений. Сюда относятся: аналитические методы для частных случаев, метод конформных преобразований, метод сеток, вариационные методы, метод конечных элементов, метод вторичных источников поля, метод приведения поля к сложной магнитной цепи, а также целый ряд методов, представляющих модификацию или комбинацию вышеизложенных методов. Эти методы подробно изложены в аналитическом обзоре в монографии одного из авторов статьи Б.К. Попова [1].

Одними из первых аналитических методов являются методы Роговского и Рота. Здесь решение получается в виде одинарных или двойных рядов Фурье. Метод применим для прямоугольных границ и для магнитной системы с µ=const.

Метод конформных преобразований является более действенным аналитическим методом, чем методы Роговского и Рота, так как позволяет учесть влияние границ более сложной формы, чем прямоугольник, но он применим только для двухмерных полей и магнитных систем с µ=0.

Метод сеток или метод конечных разностей позволяет получить численное решение задачи с любыми границами и любой конечной магнитной проницаемостью. Здесь для решения больших систем линейных алгебраических уравнений применяются релаксационный, сверх релаксационный и итерационный методы.

Вариационные методы, такие как метод Ритца, метод Галеркина, метод Канторовича, сводят задачу решения уравнения Лапласа или Пуассона с любыми граничными условиями к минимизации соответствующего функционала. Метод достаточно общий, но требует больших затрат машинного времени и хорошей математической подготовки для проектировщика.

Метод конечных элементов является развитием вариационных методов. Достоинство его заключается в том, что в отличие от вариационных методов приходится обращать не полную матрицу, а ленточную, что значительно упрощает расчеты.

Следует также отметить метод вторичных источников поля, являющийся развитием членом-корреспондентом Гринбергом Г. А. метода, предложенного ещё Максвеллом. Метод позволяет решать практически любые задачи технической электродинамики, но требует большого объема оперативной памяти машины и большого быстродействия, а также глубоких математических знаний.

Значительное распространение получил метод сведения поля к разветвленной магнитной цепи, описываемой схемой замещения, но этот метод требует тщательного построения картин магнитного поля в воздушных зазорах.

На наш взгляд наиболее интересен метод, объединяющий аналитические и численные методы. Ранее применялся метод вторичных источников поля с использованием рядов Фурье и метода Фурье для решения задач в двухмерных полях [2 ‒ 14]. Как показала практика расчётов при числе членов ряда около 100 явление Гиббса не наблюдалось и результаты расчётов были близки к точным результатам. Это показало сравнение результатов расчёта по предлагаемой методике с результатами расчёта контрольных примеров.

Поэтому появилось мнение, что возможно применение разработанного для двухмерного случая методики к трёхмерному случаю.

Начнём с того, что источником поля в электротехнических устройствах на сегодняшний день, являются катушки с током. Следовательно, если за приемлемое время можно рассчитать с помощью нашей методики электромагнитное поле в любой точке пространства, то данная методика и для неоднородной задачи может быть применена. Поэтому начнём расчёт электромагнитного поля с помощью нашей методики для цилиндрической катушки.

Решение, как и для двухмерного случая будем искать для следующей конструкции. В сплошной среде с µ=const образуем полость, заполненную воздухом, в виде параллелепипеда. В середину этого параллелепипеда поместим цилиндрическую катушку. Наша задача будет заключаться в том, что надо будет рассчитать электромагнитное поле в любой точке пространства.

Как показали наши исследования, формула для определения магнитной индукции, выраженная через векторный магнитный потенциал  будет иметь вид

Как видно из выражения (1) составляющей по оси y вектора магнитного потенциала  не будет, так как нет такой составляющей тока в катушке, вектор тока и вектор магнитного потенциала параллельны.

Векторный магнитный потенциал  будем описывать в виде тройного ряда Фурье

В результате проведённых исследований нами была выведена формула для определения

где  − плотность тока в катушке;

       l,d − размеры полости;

       m_h, n_k, u_t‒ номера гармоник.

Формула (4) может служить для расчёта поля в диаметральной плоскости, параллельной оси x. Мы ограничились определением Gx_h,k,t, так как была поставлена задача расчёта векторного магнитного потенциала первой части электромагнитной катушки.

Из формулы (4) видно, что интеграл от z не имеет аналитического решения. Поэтому для определения данного интеграла применим формулу Симпсона. Как показала вычислительная практика, этот подход оправдал наши надежды. Решение оказалось в пределах допустимой точности.

С использованием приведённых формул и описанного выше подхода были составлены алгоритмы, а по ним программы вычисления Gx_h,k,t  [15, 16]. В результате проведённых вычислений было выявлено, что работа программы занимает незначительное время, не превышающее пары минут. Картина поля, построенная по результатам вычислений, полностью соответствует физическим представлениям, описанным в литературе. Отсюда вывод, что данная методика подходит для решения трёхмерных задач в неоднородных средах и для любых видов катушек.

1. Popov B.K. Matematicheskoye modelirovaniye magnitnykh sistem gruzozakhvatnykh ustroystv na postoyannykh magnitakh: monografiya/ B.K. Popov, O.B. Popova, A.I. Popov; FGBOU VO «KubGTU», Krasnodar, 2017, 100 s.
2. Popov B.K. Issledovaniye primenimosti metoda vtorichnykh istochnikov pri reshenii krayevykh zadach elektromagnitnogo polya/ Kuban. gos. tekhnol. un-t. – Krasnodar, 2003. – 15 s. – Dep. v VINITI 11.04.03, № 698 – V2003.
3. Popov B.K. Issledovaniye vliyaniya razmerov neodnorodnosti sredy na velichinu vtorichnykh istochnikov pri reshenii krayevykh zadach elektromagnitnogo polya/ Kuban. gos. tekhnol. un-t. – Krasnodar, 2003. – 9 s. – Dep. v VINITI 06.06.03, № 1103 – V2003.
4. Popov B.K. Opredeleniye zavisimosti vtorichnykh istochnikov polya ot srednego znacheniya napryazhonnosti polya na granitse razdela sred / Kuban. gos. tekhnol. un-t. – Krasnodar, 2004. – 4 s., Dep. v VINITI 08.06.2004, № 970 – V2004.
5. Popov B.K. Issledovaniye primenimosti ryadov Fur'ye v metode vtorichnykh istochnikov polya dlya resheniya ploskoparallel'noy neodnorodnoy polevoy zadachi/ Kuban. gos. tekhnol. un-t. – Krasnodar, 2004. – 6 s., Dep. v VINITI 12.10.04, № 1592 – V2004.
6. Popov B.K. Vyvod formuly dlya opredeleniya velichiny i znaka vtorichnykh istochnikov polya/ Kuban. gos. tekhnol. un-t. – Krasnodar, 2004. – 4 s., – Dep. v VINITI 08.12.04, № 1962 – V 2004.
7. Popov B.K. Issledovaniye primenimosti integrala Fur'ye v metode vtorichnykh istochnikov polya dlya resheniya neodnorodnoy ploskoparallel'noy polevoy zadachi/ Kuban. gos. tekhnol. un-t. – Krasnodar, 2004. – 5 s., – Dep. v VINITI 15.12.04, № 2001 – V2004.
8. Popov B.K. Privedeniye beskonechnogo chisla posledovatel'nykh priblizheniy k konechnomu analiticheskomu vyrazheniyu pri reshenii polevoy zadachi s pomoshch'yu integrala Fur'ye/ Kuban. gos. tekhnol. un-t. – Krasnodar, 2005. – 7 s., – Dep. v VINITI 10.10.05, № 1290 – V2005.
9. Popov B.K. Raschot metodom Rogovskogo magnitnogo polya dvukh shin pryamougol'nogo secheniya so vstrechno napravlennymi tokami v pryamougol'noy oblasti, okruzhonnoy ferromagnetikom s beskonechnoy magnitnoy pronitsayemost'yu/ Kuban. gos. tekhnol. un-t. – Krasnodar, 2007. – 11 s.: il., Dep. v VINITI 23.03.07, № 285 – V2007.
10. Popov B.K. Raschot metodom Rota magnitnogo polya dvukh shin pryamougol'nogo secheniya so vstrechno napravlennymi tokami v pryamougol'noy oblasti, okruzhonnoy ferromagnetikom s beskonechnoy magnitnoy pronitsayemost'yu/ Kuban. gos. tekhnol. un-t. – Krasnodar, 2007. – 7 s.: il., Dep. v VINITI 23.03.07, № 287 – V2007.
11. Popov B.K. Vyvod formuly dlya opredeleniya velichiny i znaka vtorichnykh istochnikov polya v vide poverkhnostnykh tokov/ Kuban. gos. tekhnol. un-t. – Krasnodar, 2007. – 7 s., Dep. v VINITI 23.03.07, № 286 – V2007.
12. Popov B.K. Raschot magnitnogo polya dvukh shin pryamougol'nogo secheniya so vstrechno napravlennymi tokami v kusochno-neodnorodnoy pryamougol'noy oblasti, okruzhonnoy ferromagnetikom s beskonechnoy magnitnoy pronitsayemost'yu/ Kuban. gos. tekhnol. un-t. – Krasnodar, 2007. – 9 s., Dep. v VINITI 02.05.07, № 485 – V2007.
13. Popov B.K. Resheniye polevykh zadach elektrotekhniki s pomoshch'yu vtorichnykh istochnikov polya i ryadov Fur'ye/ B.K. Popov, O.B. Popova; Politematicheskiy setevoy elektronnyy nauchnyy zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyy zhurnal KubGAU) [Elektronnyy resurs]. – Krasnodar: KubGAU, 2013. – №09(093). – IDA [article ID]: 0931309040. – Rezhim dostupa: http: //ej.kubagro.ru/2013/09/pdf/40.pdf.
14 Popov B.K. Uchot neodnorodnosti sredy pri raschote magnitnogo polya/ B.K. Popov, O.B. Popova; Politematicheskiy setevoy elektronnyy nauchnyy zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta (Nauchnyy zhurnal KubGAU) [Elektronnyy resurs]. – Krasnodar: KubGAU, 2014. – №01(095). – IDA [article ID]: 0951401052. – Rezhim dostupa: http: //ej.kubagro.ru/2014/01/pdf/52.pdf.
15. Popov B.K. Vychisleniye chlena ryada Fur'ye dlya vektornogo magnitnogo potentsiala katushki po osi X / B.K. Popov, O.B. Popova; SVIDETEL'STVO o gosudarstvennoy registratsii programmy dlya EVM 2014618898, zaregistrirovano 01.09.14.
16. Popov B.K. Modifitsirovannoye vychisleniye chlena ryada Fur'ye dlya vektornogo magnitnogo potentsiala katushki po osi X/ B.K. Popov, O.B. Popova; SVIDETEL'STVO o gosudarstvennoy registratsii programmy dlya EVM 2014619552, zaregistrirovano 18.09.14.

Popov Boris Klavdievich, Popova Olga Borisovna, BOCHKAREVA ANNA YURYEVNA SOFTWARE DEVELOPMENT FOR CALCULATION OF THE VECTORMAGNETIC POTENTIAL OF THE FIRST PART OF THE ELECTROMAGNETIC COIL // Вестник студенческой науки кафедры информационных систем и программирования. – 2017. – № 03;
URL: vsn.esrae.ru/en/3-12 (Date Access: 29.06.2025).

Today: 2017 | Week: 2017 | Total: 2951

Comments (0)